Производные: математический инструмент для описании реальности
Простой
4 мин
3.6K
Python
*
Habr
Введение
В прошлой статье о линейной регрессии я упомянул, что в будущем мы будем заниматься её оптимизацией. Однако, прежде чем перейти к этому, нам нужно разобраться с одной из ключевых концепций математического анализа — производной.

В этой статье мы подробно разберём основы производной, не углубляясь в сложную математику. Мы начнём с базовых принципов, знакомых ещё со школьной программы, а затем перейдём к практической реализации дифференцирования функций на Python.

Интуиция
Приведу банальный, но показательный пример производной из реальной жизни.

Спидометр в машине — это типичный пример применения производной. Когда автомобиль ускоряется (то есть его скорость увеличивается), стрелка на спидометре движется вправо. Если машина, наоборот, замедляется, стрелка уходит влево.

Производная в этом контексте — это инструмент, который показывает, как изменяется скорость во времени.

Давайте подробнее поговорим об этом в следующем разделе.

Производная функции
Функции есть почти везде и ими можно описать практически все. Так давайте опишем скорость изменения функции.


Перед нами график некоторой функции. Наша цель — понять, как изменяется функция на интервале от точки A до точки B.

Для этого проведём перпендикулярные линии из точек A и B к осям координат, чтобы определить их координаты:

Точка A имеет координаты (x1,y1)

Точка B имеет координаты (x2​,y2​)

Для изменений x определим разность между значениями абсцисс (x-координат) точек B и A:

\Delta x = x_2-x_1
Для изменений y определим разность между значениями ординат (y-координат) точек B и A:

\Delta y = y_2 - y_1
Кстати, записи, которые мы использовали выше, имеют собственные названия:

Разность значений x называется приращением аргумента.

Разность значений y называется приращением функции.

Но вопрос о формальном определении производной остается открытым, но теперь мы готовы его закрыть.

Производная функции - это отношение приращения функции к приращении аргумента

В математической записи, это выглядит как:

f'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x}
При этом:

\Delta x\Rightarrow0
При это дельта x должна стремиться к нулю, чтобы вычисления были точнее.

Геометрический смысл производной
Мы рассмотрим геометрический смысл производной, так как он наиболее понятен на интуитивном уровне и не требует дополнительных знаний из математического анализа.

В основе данного представления лежит идея о касательной к графику функции в точке, которая нас интересует.


Чёрная кривая — это график нашей функции, а красная прямая — касательная в выбранной точке. Теперь давайте достроим прямоугольный треугольник, проведя линию от точки касания до оси xxx.

У нас получается прямоугольный треугольник с углом a. Из предыдущего объяснения мы знаем, что производная — это отношение приращения функции к приращению аргумента.

Если мы обозначим вертикальный (жёлтый) отрезок как y, а горизонтальный — как x, то мы фактически получаем определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что тангенс угла — это отношение противоположного катета (в нашем случае y) к прилежащему катету (в нашем случае x).

Делая вывод из всего сказанного в этом разделе, можно сделать вывод, о определении функции в геометрической интерпретации:

Производная - это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Так же важно отметить, что взятие производной от функции, называется - дифференцирование

Оператор дифференцирования
Пройдусь кратко по этому разделу, так как он не требует больших объяснений.

Допустим у нас есть функция:

f(x) = x^2
Если мы хотим взять от неё производную, то одним из распространённых способов написать это является следующая математическая запись:

\frac{d}{dx}(x^2)=2x
Эта запись говорит, что мы хотим взять производную от функции f(x) = x^2 по ее аргументу x.

Правила дифференцирования констант
Взятие производной от функции вида:

f(x) = 5
Можно записать в виде:

\frac{d}{dx}(5)=0
Вообщем при взятии производной от любой константы дает ноль.

Правила дифференциация степенной функции
Если у вас функция вида:

f(x)=x^n
То взятие производной выглядит как то так:

\frac{d}{dx}(x^n)=n*x^{n-1}
Разберем дифференциацию функции:

f(x)=x^4\frac{d}{dx}(x^4) = 4*x^3
Правила дифференцирования суммы
Сумма производных функций - это сумма их производных

\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}f(x) +\frac{d}{dx}g(x)
Допустим у нас есть 2 функции:

f(x) = x^3g(x) = 3x\frac{d}{dx}(x^3+3x)= \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(3x) = 3x^2+3
Решение частных производных через дерево решений
Перед нами стоит задача взять производную от такой функции:

v = 2x +3yx = 3a^2y=4b^2
Как взять такую производную:

\frac{dv}{da}
Для решения данного типа производных мы можем использовать метод "дерево решений".


Сначала мы берем производную функции v от x, далее x от a, а потом получившиеся результаты умножаем:

\frac{dv}{dx}=3\frac{dx}{da}=6a\frac{dv}{dx}*\frac{dx}{da} = 3*6a=18a
Правила дифференциация экспоненты
Если вы хотите взять производную от функции:

f(x) = e^x
Спешу вас обрадовать: производная от экспоненциальной функции равна самой функции, то есть:

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
Поздравляю, теперь вы поняли мем, который стоит на обложке этой статьи.

Конечно это не все, есть еще куча функций, которые можно дифференцировать. По этой ссылке можете посмотреть все производные и найти те, которые вас интересуют.

Правила дифференцирования на python
Для вычислений производных я буду использовать библиотеку SymPy.